如何理解矩阵相乘的几何意义或现实意义? |
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这个问题我也思考了许久,如何从高中的知识过度到大学的线代知识,偶然间看到一篇文章再结合MIT的线代和国内的西工大的矩阵论的一小撮知识,终于把这个问题可以详细的写出来了,达到知其所以然。(欢迎大家指正错误)
我们先来看一个高中就学过的向量运算:内积。A=(x1,y1),B=(x2,y2),如下图所示
;lt;img src=;https://pic4.zhimg.com/50/8d64151ceed0eed4d4708d8d9e6374dc_hd.jpg; data-rawwidth=;598; data-rawheight=;593; class=;origin_image zh-lightbox-thumb; width=;598; data-original=;https://pic4.zhimg.com/8d64151ceed0eed4d4708d8d9e6374dc_r.jpg;;gt;
![]() ![]() 我们之所以默认选择(1,0)和(0,1)为基,当然是比较方便,因为它们分别是x和y轴正方向上的单位向量,因此就使得二维平面上点坐标和向量一一对应,非常方便。但实际上任何两个线性无关的二维向量都可以成为一组基,所谓线性无关在二维平面内可以直观认为是两个不在一条直线上的向量。 例如,(1,1)和(-1,1)也可以成为一组基。一般来说,我们希望基的模是1,因为从内积的意义可以看到,如果基的模是1,那么就可以方便的用向量点乘基而直接获得其在新基上的坐标了!实际上,对应任何一个向量我们总可以找到其同方向上模为1的向量,只要让两个分量分别除以模就好了。例如,上面的基可以变为下图所示, 根据程云鹏的矩阵论11页上的定义:设x1,x2,...,xn是Vn的旧基,y1,y2,...,yn为其新基,则由基的定义可以写为(y1,y2,...,yn)=(x1,x2,...,xn)C(此处y和x均为列向量), ;lt;img src=;https://pic3.zhimg.com/50/v2-792e7958dd784ec8a91abb6344342a9c_hd.jpg; data-rawwidth=;639; data-rawheight=;362; class=;origin_image zh-lightbox-thumb; width=;639; data-original=;https://pic3.zhimg.com/v2-792e7958dd784ec8a91abb6344342a9c_r.jpg;;gt;![]() 其中C称之为过渡矩阵 所以我们有Y=X*C,其中Y为 ![]() 那么根据程云鹏的矩阵论书中,坐标在新基中的表示为 我们可以看到C明显为正交矩阵,正交矩阵的性质为 正交矩阵的逆等于其转置,所以本来C的第一列为基,求逆矩阵之后变成C的第一行为基。 所以推导出下面这个式子。 一般的,如果我们有M个N维向量,想将其变换为由R个N维向量表示的新空间中,那么首先将R个基按行组成矩阵A,然后将向量按列组成矩阵B,那么两矩阵的乘积AB就是变换结果,其中AB的第m列为A中第m列变换后的结果。 数学表示为:;lt;img src=;https://pic1.zhimg.com/50/v2-aca27e96cfa51d1b0fcb265d9918ad83_hd.jpg; data-rawwidth=;771; data-rawheight=;179; class=;origin_image zh-lightbox-thumb; width=;771; data-original=;https://pic1.zhimg.com/v2-aca27e96cfa51d1b0fcb265d9918ad83_r.jpg;;gt;![]() |
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